Kintamos eilutės. Absoliuti ir sąlyginė konvergencija Kintamų eilučių sprendinių pavyzdžiai
Skaičių serija, kurioje yra begalinis skaičius teigiamų ir begalinis skaičius neigiamų narių, vadinama kintamąja.
Absoliuti ir sąlyginė konvergencija
Serija vadinama absoliučiai konvergentine, jei seka taip pat suartėja.
Jei eilutė absoliučiai konverguoja, tada ji yra konverguojanti (įprasta prasme). Atvirkščiai netiesa.
Sakoma, kad serija yra sąlyginai konvergentiška, jei ji pati konverguoja, o iš jos narių modulių sudaryta eilutė išsiskiria.
Ištirkite konvergencijos eilutes 
.
Taikykime pakankamai Leibnizo testą kintamoms serijoms. Mes gauname 
nes . Todėl ši serija susilieja.
38. Eilių kaitaliojimas. Leibnizo ženklas.
Ypatingas kintamosios serijos atvejis yra kintamoji serija, ty serija, kurioje vienas po kito einantys terminai turi priešingus ženklus.
Leibnizo ženklas
Netoliese besisukiojantiems pakaitomis taikomas Leibnizo pakankamos konvergencijos testas.
Tegu (an) yra tokia skaičių seka, kad
1. an+1< an для всех n;
Tada išeina kintamos serijos.
39. Funkcinės eilutės. Galios serija. konvergencijos spindulys. Konvergencijos intervalas.
Funkcinių serijų ir galios serijų samprata
Atminkite, kad įprasta skaičių serija susideda iš skaičių:
Visi serialo nariai yra SKAIČIAI.
Funkcinę eilutę sudaro FUNKCIJOS:
Be daugianarių, faktorialų ir kitų dovanų, bendras serijos terminas tikrai apima raidę „x“. Tai atrodo taip, pavyzdžiui:
Kaip ir skaičių serija, bet kurią funkcinę seriją galima parašyti išplėstine forma:
Kaip matote, visi funkcinės serijos nariai yra funkcijos.
Populiariausias funkcinių serijų tipas yra galios serija.
Apibrėžimas:
Laipsnių eilutė yra eilutė, kurios bendras terminas apima nepriklausomo kintamojo teigiamus sveikuosius laipsnius.
Supaprastinta laipsnių eilutė daugelyje vadovėlių rašoma taip: , kur yra senas pažįstamas skaičių eilučių „įdaras“ (polinomai, laipsniai, faktorialai, kurie priklauso tik nuo „en“). Paprasčiausias pavyzdys:
Pažvelkime į šį išskaidymą ir permąstykime apibrėžimą: laipsnių eilutės nariai turi „x“ teigiamuose sveikųjų skaičių (natūraliose) laipsniuose.
Labai dažnai laipsnių eilutę galima rasti šiose „modifikacijose“: arba kur a yra konstanta. Pavyzdžiui:
Griežtai kalbant, supaprastintos galios serijos vaizdinės arba ne visai teisingos. Eksponente vietoj vienos raidės „en“ gali būti sudėtingesnė išraiška, pavyzdžiui: 
Arba ši galių serija:
Jei tik „xAx“ rodikliai būtų natūralūs.
Galios serijų konvergencija.
Konvergencijos intervalas, konvergencijos spindulys ir konvergencijos sritis
Tokios terminų gausos baimintis nereikia, jie eina „greta vienas kito“ ir nėra itin sunkiai suprantami. Geriau pasirinkti paprastą eksperimentinę seriją ir iškart pradėti suprasti.
Aš prašau jūsų mylėti ir teikti pirmenybę laipsniams. Kintamasis gali turėti bet kokią realią reikšmę nuo „minus begalybės“ iki „pliuso begalybės“. Į bendrą serijos terminą pakeiskite kelias savavališkas x reikšmes:
Jei x = 1, tada
Jei x = -1, tada
Jei x = 3, tada
Jei x = -0,2, tada
Akivaizdu, kad vieną ar kitą reikšmę pakeitę "x" gauname skirtingas skaitines eilutes. Kai kurios skaičių eilutės susilies, o kai kurios skirsis. Ir mūsų užduotis yra rasti "x" reikšmių rinkinį, prie kurio laipsnio eilutė suartės. Tokia aibė vadinama eilučių konvergencijos sritimi.
Bet kuriai galios serijai (laikinai nukrypstant nuo konkretaus pavyzdžio) galimi trys atvejai:
1) Laipsnių eilutė absoliučiai suartėja tam tikru intervalu . Kitaip tariant, jei pasirinksime bet kurią „x“ reikšmę iš intervalo ir pakeisime ją į bendrą laipsnių eilutės terminą, gausime absoliučiai konvergencinę skaičių eilutę. Toks intervalas vadinamas laipsnių eilučių konvergencijos intervalu.
Konvergencijos spindulys, paprasčiausiai, yra pusė konvergencijos intervalo ilgio:
Geometriškai situacija atrodo taip: 
Šiuo atveju eilutės konvergencijos intervalas: eilutės konvergencijos spindulys: 
Skaičių serija, kurioje yra begalinis skaičius teigiamų ir begalinis skaičius neigiamų narių, vadinama kintamąja.
Absoliuti ir sąlyginė konvergencija
Serija vadinama absoliučiai konvergentine, jei seka taip pat suartėja.
Jei eilutė absoliučiai konverguoja, tada ji yra konverguojanti (įprasta prasme). Atvirkščiai netiesa.
Sakoma, kad serija yra sąlyginai konvergentiška, jei ji pati konverguoja, o iš jos narių modulių sudaryta eilutė išsiskiria.
Ištirkite konvergencijos eilutes 
.
Taikykime pakankamai Leibnizo testą kintamoms serijoms. Mes gauname 
nes . Todėl ši serija susilieja.
38. Eilių kaitaliojimas. Leibnizo ženklas.
Ypatingas kintamosios serijos atvejis yra kintamoji serija, ty serija, kurioje vienas po kito einantys terminai turi priešingus ženklus.
Leibnizo ženklas
Netoliese besisukiojantiems pakaitomis taikomas Leibnizo pakankamos konvergencijos testas.
Tegu (an) yra tokia skaičių seka, kad
1. an+1< an для всех n;
Tada išeina kintamos serijos.
39. Funkcinės eilutės. Galios serija. konvergencijos spindulys. Konvergencijos intervalas.
Funkcinių serijų ir galios serijų samprata
Atminkite, kad įprasta skaičių serija susideda iš skaičių:
Visi serialo nariai yra SKAIČIAI.
Funkcinę eilutę sudaro FUNKCIJOS:
Be daugianarių, faktorialų ir kitų dovanų, bendras serijos terminas tikrai apima raidę „x“. Tai atrodo taip, pavyzdžiui:
Kaip ir skaičių serija, bet kurią funkcinę seriją galima parašyti išplėstine forma:
Kaip matote, visi funkcinės serijos nariai yra funkcijos.
Populiariausias funkcinių serijų tipas yra galios serija.
Apibrėžimas:
Laipsnių eilutė yra eilutė, kurios bendras terminas apima nepriklausomo kintamojo teigiamus sveikuosius laipsnius.
Supaprastinta laipsnių eilutė daugelyje vadovėlių rašoma taip: , kur yra senas pažįstamas skaičių eilučių „įdaras“ (polinomai, laipsniai, faktorialai, kurie priklauso tik nuo „en“). Paprasčiausias pavyzdys:
Pažvelkime į šį išskaidymą ir permąstykime apibrėžimą: laipsnių eilutės nariai turi „x“ teigiamuose sveikųjų skaičių (natūraliose) laipsniuose.
Labai dažnai laipsnių eilutę galima rasti šiose „modifikacijose“: arba kur a yra konstanta. Pavyzdžiui:
Griežtai kalbant, supaprastintos galios serijos vaizdinės arba ne visai teisingos. Eksponente vietoj vienos raidės „en“ gali būti sudėtingesnė išraiška, pavyzdžiui: 
Arba ši galių serija:
Jei tik „xAx“ rodikliai būtų natūralūs.
Galios serijų konvergencija.
Konvergencijos intervalas, konvergencijos spindulys ir konvergencijos sritis
Tokios terminų gausos baimintis nereikia, jie eina „greta vienas kito“ ir nėra itin sunkiai suprantami. Geriau pasirinkti paprastą eksperimentinę seriją ir iškart pradėti suprasti.
Aš prašau jūsų mylėti ir teikti pirmenybę laipsniams. Kintamasis gali turėti bet kokią realią reikšmę nuo „minus begalybės“ iki „pliuso begalybės“. Į bendrą serijos terminą pakeiskite kelias savavališkas x reikšmes:
Jei x = 1, tada
Jei x = -1, tada
1 apibrėžimas
Skaičių serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, kurios nariai turi savavališkus ženklus (+), (?), vadinama kintamąja seka.
Pirmiau aptartos kintamos serijos yra ypatingas kintamųjų serijų atvejis; aišku, kad ne kiekviena kintamoji serija yra kaitaliojama. Pavyzdžiui, serija $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ kintamos, bet ne kintamos simbolių serijos.
Atkreipkite dėmesį, kad kintamoje terminų serijoje, tiek su ženklu (+), tiek su ženklu (-), yra be galo daug. Jei tai netiesa, pavyzdžiui, serijoje yra baigtinis skaičius neigiamų terminų, tada juos galima atmesti ir svarstyti seriją, sudarytą tik iš teigiamų terminų, ir atvirkščiai.
2 apibrėžimas
Jei skaičių serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ susilieja ir jos suma yra S, ir dalinis suma lygi $S_n$, tada $r_(n) =S-S_(n) $ vadinama likusia serijos dalimi, o $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, t.y. likusi konvergencinės eilutės dalis linkusi į 0.
3 apibrėžimas
Serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ vadinama absoliučiai konvergentine, jei serija, sudaryta iš jos narių absoliučių verčių $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n)\right| $.
4 apibrėžimas
Jei skaičių serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ susilieja ir serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\dešinė| $, sudaryta iš absoliučių jo narių verčių, skiriasi, tada pradinė serija vadinama sąlyginai (ne absoliučiai) konvergentine.
1 teorema (pakankamas kintamų eilučių konvergencijos kriterijus)
Kintamoji eilutė $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ absoliučiai suartėja, jei serija, sudaryta iš jos narių absoliučių verčių$\sum \limits _(n=1) ^ susilieja (\infty )\left|u_(n) \right| $.
komentuoti
1 teorema pateikia tik pakankamą kintamųjų eilučių konvergencijos sąlygą . Atvirkštinė teorema nėra teisinga, t.y. jei kintamoji eilutė $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ susilieja, tai nebūtina, kad serija, sudaryta iš modulių $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\left|u_(n) \right| $ (jis gali būti konvergentinis arba divergentinis). Pavyzdžiui, serija $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konverguoja pagal Leibnizo testą, o serija, sudaryta iš absoliučių jo terminų verčių yra $\sum \limits _(n =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmoninės serijos) skiriasi.
1 nuosavybė
Jei serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ suartėja absoliučiai, tada ji absoliučiai suartėja bet kokiai jos narių permutacijai, o serijų suma nepriklauso nuo eilės narių. Jei $S"$ yra visų jos teigiamų dėmenų suma, o $S""$ yra visų jos neigiamų narių absoliučių verčių suma, tada serijos suma yra $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )u_(n) $ yra lygus $S=S"-S""$.
2 nuosavybė
Jei serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ absoliučiai konverguoja ir $C=(\rm const)$, tai serija $\sum \limits _(n=1 )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ taip pat absoliučiai suartėja.
3 nuosavybė
Jei serijos $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ir $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ susilieja visiškai, tada serija $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ taip pat visiškai susilieja.
4 savybė (Riemano teorema)
Jei eilutė sąlyginai suartėja, tai nesvarbu, kokį skaičių A paimtume, šios eilutės sąlygas galime pertvarkyti taip, kad jos suma būtų lygiai lygi A; be to, sąlyginai konvergentinės eilutės sąlygas galima pertvarkyti taip, kad po to ji išsiskirtų.
1 pavyzdys
Ištirkite sąlyginės ir absoliučios konvergencijos eilutes
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Sprendimas. Ši serija yra kintamoji ženklų, kurios bendrą terminą žymime: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
2 pavyzdys
Išnagrinėkite eilutę $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ absoliučiai ir sąlyginei konvergencijai.
- Nagrinėjame absoliučios konvergencijos eilutes. Pažymėkite $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ ir sukurkite absoliučių reikšmių seką>$a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Gauname seriją $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ su teigiamais terminais, kuriems taikome serijų palyginimo ribinį kriterijų. Palyginimui su $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ apsvarstykite seriją, kurios forma yra $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Ši serija yra Dirichlet serija su eksponentu $p=\frac(1)(2)
- Toliau išnagrinėjame pradinę sąlyginę seriją $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ konvergencija. Norėdami tai padaryti, patikriname Leibnizo testo sąlygų įvykdymą. 1 sąlyga: $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, kur $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , t.y. ši serija yra kintama. Norėdami patikrinti 2) sąlygą dėl monotoniško serijos sąlygų sumažėjimo, naudojame šį metodą. Apsvarstykite pagalbinę funkciją $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $, apibrėžtą $x\in )
