Ciddi sifariş əlaqəsi. Ciddi nizam əlaqəsi Ciddi xətti nizam əlaqəsi xassələrə malikdir

“Sifariş” sözü tez-tez ən müxtəlif məsələlərdə istifadə olunur. Zabit əmr verir: “Rəqəmlər sırasına görə hesabla”, arifmetik əməliyyatlar müəyyən ardıcıllıqla yerinə yetirilir, idmançılar hündürlüyə qalxır, bütün aparıcı şahmatçılar Elo əmsalları adlanan (amerikalı professor) müəyyən ardıcıllıqla düzülür. oyunçuların bütün uğur və uğursuzluqlarını nəzərə almağa imkan verən sistem əmsallarını kim işləyib hazırladı), çempionat bitdikdən sonra bütün futbol komandaları müəyyən ardıcıllıqla düzülüb və s. eşşək əkmədi "!).

Müəyyən bir çoxluğun elementlərini bir-birinin ardınca düzərək, biz onları sıralayırıq və ya onlar arasında müəyyən əlaqə yaradırıq. sırada, cərgədə.Ən sadə nümunə natural ədədlərin natural sırasıdır. Onun təbiiliyi ondan ibarətdir ki, hər hansı iki natural ədəd üçün onlardan hansının digərini izlədiyini və ya hansının digərindən böyük olduğunu bilirik, ona görə də natural ədədləri ardıcıllıqla düzə bilərik ki, daha böyük ədəd yerləşsin. məsələn, kiçik olanın sağında: 1, 2, 3, ... . Əlbəttə ki, elementlərin ardıcıllığı yalnız soldan sağa deyil, istənilən istiqamətdə yazıla bilər. Natural ədədlər anlayışının özü artıq nizam ideyasını ehtiva edir. İstənilən çoxluğun elementlərinin müəyyən nisbi düzülüşü ilə biz ona hər bir konkret halda öz adına malik ola bilən, məsələn, “daha ​​az ol”, “yaşlı ol”, “tərkibində” olan bəzi ikili nizam əlaqəsini təyin edirik. , "izlə" və s. Sifariş üçün simvollar da müxtəlif ola bilər, məsələn, Í və s.

Sifariş münasibətinin əsas fərqləndirici xüsusiyyəti onun keçid xassəsinə malik olmasıdır. Beləliklə, əgər biz bəzi obyektlərin ardıcıllığı ilə məşğul oluruq x 1, x 2, ..., x n,... , əmr etdi, məsələn, -ə münasibətdə, sonra yerinə yetiriləndən x 1x 2... x n..., hər hansı bir cüt üçün buna əməl etməlidir x i , x j bu ardıcıllığın elementləri də yerinə yetirilir x ixj:

Bir cüt element üçün x ijəlaqə qrafikində yuxarıdan bir ox çəkirik x i yuxarıya xj, yəni daha kiçik elementdən daha böyük elementə.

Sifariş əlaqəsi qrafiki sözdə istifadə etməklə sadələşdirilə bilər Hasse diaqramları. Hasse diaqramı aşağıdakı kimi qurulur. Kiçik elementlər aşağıda, böyük olanlar isə yuxarıda yerləşdirilir. Şəkil üçün belə bir qayda kifayət etmədiyi üçün iki elementdən hansının daha böyük, hansının digərindən kiçik olduğunu göstərən xətlər çəkilir. Bu halda, bir-birinin elementlərini dərhal izləmək üçün yalnız xətlər çəkmək kifayətdir. Hasse diaqramlarının nümunələri şəkildə göstərilmişdir:

Hasse diaqramında oxlar buraxıla bilər. Hasse diaqramı müstəvidə fırlana bilər, lakin özbaşına deyil. Dönərkən diaqram təpələrinin nisbi mövqeyini (yuxarıda - aşağıda) saxlamaq lazımdır:

Münasibət Rçoxluqda Xçağırdı ciddi nizam-intizam əlaqəsi, keçidli və asimmetrik olarsa.

Ciddi nizam əlaqəsinin təyin olunduğu çoxluğa deyilir nizamlı. Məsələn, natural ədədlər çoxluğu "kiçik" münasibəti ilə sıralanır. Ancaq eyni çoxluq başqa bir əlaqə ilə də sıralanır - "bölünür" və "böyük".

Natural ədədlər çoxluğunda "kiçik" münasibətinin qrafiki şüa kimi təqdim edilə bilər:

Münasibət R V X münasibət adlanır qeyri-ciddi (qismən) sifariş, keçidli və antisimmetrik olarsa. Qeyri-səlis nizamın hər bir əlaqəsi refleksivdir.

“Qismən” epiteti çoxluğun bəlkə də bütün elementlərinin bu baxımdan müqayisə oluna bilmədiyini ifadə edir.

Qismən nizam münasibətinin tipik nümunələri “artı yox”, “az deyil”, “yaca yoxdur”. Əlaqələrin adlarındakı “deyil” zərrəciyi onların refleksivliyini ifadə etməyə xidmət edir. “Artı yoxdur” münasibəti “kiçik və ya bərabər” münasibəti ilə üst-üstə düşür, “az olmayan” münasibəti isə “böyük və ya bərabər” münasibəti ilə eynidir. Bununla əlaqədar olaraq, qismən əmr də deyilir lax qaydasında. Çox vaxt qismən (qeyri-sərt) nizam əlaqəsi "" simvolu ilə işarələnir.

Bəzi çoxluğun alt çoxluqları arasında daxilolma əlaqəsi U da qismən nizamdır. Aydındır ki, bu baxımdan heç iki alt çoxluq müqayisə edilə bilməz. Aşağıdakı şəkildə çoxluğun bütün alt çoxluqlarının (1,2,3) çoxluğuna daxil edilməklə qismən sifariş göstərilir. Qrafikdə yuxarıya yönəlməli olan oxlar göstərilmir.

Qismən əmrin verildiyi dəstlər çağırılır qismən sifariş, və ya sadəcə nizamlı dəstləri.

Elementlər X Və saat qismən sifarişli dəst adlanır müqayisə,Əgər Xsaat və ya saatX.Əks halda, onlar müqayisə edilə bilməz.

İstənilən iki elementin müqayisə oluna bildiyi sıralı çoxluq adlanır xətti qaydada, və sıra xətti bir sıradır. Xətti nizam da mükəmməl nizam adlanır.

Məsələn, natural düzülüşlü bütün həqiqi ədədlər çoxluğu, eləcə də onun bütün alt çoxluqları xətti qaydada sıralanır.

Ən müxtəlif təbiətli obyektlər sifariş edilə bilər iyerarxik olaraq. Burada bəzi nümunələr var.

Nümunə 1: Kitabın hissələri elə sıralanır ki, kitabda fəsillər, fəsillərdə bölmələr, bölmələr isə yarımbölmələrdən ibarət olsun.

Nümunə 2. Kompüterin fayl sistemindəki qovluqlar bir-biri ilə iç-içə yerləşərək budaqlanan struktur əmələ gətirir.

Misal 3. Münasibətlər valideynlər - uşaqlar sözdə şəklində təsvir edilə bilər ailə ağacı, kimin əcdadı (və ya nəsli) olduğunu göstərir.

Setə buraxın A qismən əmr verdi. Element Xçağırdı maksimum (minimum) A çoxluğunun elementi, əgər faktdandırsa Xsaat(saatX), bərabərlik gəlir X= y. Başqa sözlə, element X hər hansı element üçün maksimumdur (minimum). saat yoxsa bu doğru deyil Xsaat(saatX) və ya yerinə yetirilir X=y. Beləliklə, maksimum (minimum) element əlaqədə olduğu bütün digər elementlərdən böyük (az) olur.

Element Xçağırdı ən böyük (kiçik),əgər varsa saatÎ A həyata keçirdi saat< х (х< у).

Qismən sıralanmış dəstdə çoxlu minimum və/yaxud maksimum elementlər ola bilər, lakin birdən çox minimum və maksimum element ola bilməz. Ən kiçik (ən böyük) element də minimumdur (maksimum), lakin bunun əksi doğru deyil. Soldakı rəqəm iki minimum və iki maksimum elementi olan qismən sifarişi, sağda isə ən kiçik və ən böyük elementləri olan qismən sifarişi göstərir:

Sonlu qismən sıralanmış çoxluqda həmişə minimum və maksimum elementlər olur.

Ən böyük və ən kiçik elementləri olan nizamlı çoxluğa deyilir məhduddur.Şəkil sonsuz məhdud çoxluğun nümunəsini göstərir. Əlbəttə, sonlu səhifədə sonsuz çoxluğu təsvir etmək mümkün deyil, lakin onun qurulması prinsipini göstərmək olar. Burada təsviri sadələşdirmək üçün təpələrə yaxın döngələr göstərilmir. Eyni səbəbdən, keçid xüsusiyyətinin göstərilməsini təmin edən qövslər göstərilmir. Başqa sözlə, rəqəm sıra əlaqəsinin Hasse diaqramını göstərir.

Sonsuz dəstlərin maksimumu, minimumu və ya hər ikisi olmaya bilər. Məsələn, natural ədədlər çoxluğu (1,2, 3, ...) ən kiçik elementi 1-ə malikdir, lakin maksimumu yoxdur. Təbii sıraya malik bütün həqiqi ədədlər çoxluğu nə ən kiçik, nə də ən böyük elementə malikdir. Bununla belə, onun alt çoxluğu bütün nömrələrdən ibarətdir X< 5 ən böyük elementə malikdir (5 nömrə), lakin ən kiçik element yoxdur.

A çoxluğunda R ikili münasibət olsun.

TƏrif. ikili əlaqə A çoxluğundakı R keçidli və antisimmetrik olarsa, A-dakı sıra əlaqəsi və ya A-dakı sıra adlanır.

TƏrif. A çoxluğundakı R nizamlı əlaqəsi, A-da, yəni A-dan hər hansı biri üçün refleksivdirsə, qeyri-ciddi adlanır.

R nizamlı münasibət A-da, yəni A-dan hər hansı biri üçün antirefleksivdirsə, sərt (A-da) deyilir. Bununla belə, keçid R əlaqəsinin antisimmetriyası onun antirefleksiv olması faktından irəli gəlir. Buna görə də aşağıdakı ekvivalent tərifi verə bilərik.

TƏrif. A çoxluğundakı ikili R əlaqəsi, A-da keçidli və əks-refleksivdirsə, A üzərində ciddi nizam adlanır.

Nümunələr. 1. M çoxluğunun bütün alt çoxluqlarının çoxluğu olsun. Çoxluqda daxil olma münasibəti qeyri-ciddi nizam əlaqəsidir.

2. Həqiqi ədədlər çoxluğu üzrə əlaqələr, müvafiq olaraq, ciddi və qeyri-ciddi nizamlı münasibətdir.

3. Natural ədədlər çoxluğunda bölünmə münasibəti qeyri-ciddi nizamlı münasibətdir.

TƏrif. A çoxluğundakı R ikili əlaqəsi, refleksiv və keçidlidirsə, A-da əvvəlcədən sifariş əlaqəsi və ya əvvəlcədən sifariş adlanır.

Nümunələr. 1. Tam ədədlər çoxluğunda bölünmə nisbəti sifariş deyil. Bununla belə, refleksiv və keçidlidir, yəni əvvəlcədən sifarişdir.

2. Məntiqi nəticə əlaqəsi müddəa məntiqi düsturlar toplusunda əvvəlcədən sifarişdir.

Xətti nizam. Sifarişin mühüm xüsusi halı xətti sifarişdir.

TƏrif. Çoxluqdakı sıra əlaqəsi xətti sıra əlaqəsi və ya xətti qaydada adlanır, əgər o, ilə bağlıdırsa, yəni A-dan hər hansı x, y üçün.

Xətti olmayan bir sıra əlaqəsi adətən qismən sıra əlaqəsi və ya qismən sifariş adlanır.

Nümunələr. 1. Həqiqi ədədlər çoxluğunda “kiçik” münasibəti xətti düzülüş münasibətidir.

2. Rus dili lüğətlərində qəbul edilən sıra əlaqəsi leksikoqrafik adlanır. Rus dilində sözlər toplusunda leksikoqrafik sıra xətti ardıcıldır.

“Sifariş” sözü tez-tez müxtəlif məsələlərdə istifadə olunur. Zabit əmr verir: “Rəqəmlər sırasına görə hesabla”, hesab əməliyyatları müəyyən ardıcıllıqla yerinə yetirilir, idmançılar hündürlüyə qalxır, hissənin hazırlanmasında əməliyyatların yerinə yetirilməsi, cümlədə söz sırası var.

Sifarişlə bağlı bütün hallarda ümumi olan nədir? “Sifariş” sözünün belə bir məna daşıması faktı: bu və ya digər çoxluğun hansı elementinin hansının ardınca getdiyini (yaxud hansı elementin hansının əvvəl olduğunu) bildirir.

münasibət" X izləyir saat» keçidlə: əgər « X izləyir saat"Və" saat izləyir z", Bu " x izləyir z". Bundan əlavə, bu nisbət antisimmetrik olmalıdır: iki fərqli üçün X Və saat, Əgər X izləyir saat, Bu saatəməl etmir X.

Tərif. Münasibət R setdə Xçağırdı ciddi nizam-intizam əlaqəsi, keçidli və antisimmetrik olarsa.

Qrafikin xüsusiyyətlərini və ciddi nizam münasibətlərinin qrafikini öyrənək.

Məsələni nəzərdən keçirək. Setdə X= (5, 7, 10, 15, 12) əlaqə R: « X < saat". Bu əlaqəni cütləri sadalamaqla müəyyən edirik
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Onun qrafikini quraq. Görürük ki, bu əlaqənin qrafikində döngələr yoxdur. Qrafikdə ikiqat oxlar yoxdur. Əgər dən X ox gedir saat, və dən saat- V z, sonradan X ox gedir z(şək. 8).

Qurulmuş qrafik çoxluğun elementlərini tənzimləməyə imkan verir X bu qaydada:

{5, 7, 10, 12, 15}.

Şəkil 6-da (bu fəslin 6-cı bəndi) VII, VIII sütunlar ciddi nizamlı münasibətlərin qrafikləridir.

Qeyri-ciddi sifariş əlaqəsi

Həqiqi ədədlər çoxluğundakı “kiçik” münasibəti “az olmayan” münasibətinin əksidir. Bu, artıq ciddi bir əmr deyil. Məsələ burasındadır X = saat, münasibətlər X ³ saat Və saat ³ X, yəni. “az deyil” münasibəti refleksivdir.

Tərif. Münasibət R setdə Xçağırdı qeyri-ciddi nizam-intizam əlaqəsi, refleksiv, antisimmetrik və keçidli olarsa.

Bu cür münasibətlər kimlik əlaqəsi ilə ciddi nizamlı əlaqənin birliyidir.

Dəst üçün "artıq yoxdur" (£) münasibətini nəzərdən keçirin

X= (5, 7, 10, 15, 12). Onun qrafikini quraq (şək. 9).

Qeyri-ciddi sıra əlaqəsi qrafiki, ciddi qayda əlaqəsi qrafikindən fərqli olaraq, hər bir təpədə döngələrə malikdir.

Əncirdə. 6 (bu fəslin 6-cı bəndi) V, VI qrafikləri qeyri-ciddi nizamlı münasibətlərin qrafikləridir.

Sifarişli komplektlər

Bir çoxluq hansısa nizam əlaqəsi ilə sıralanmış (onlar da deyirlər ki, tam düzülmüşdür), digəri isə belə bir əlaqə ilə düzülməmiş və ya qismən sıralanmış ola bilər.

Tərif. Bir dəstə Xçağırdı nizamlı bəzi sifariş əlaqəsi R hər hansı iki element üçün x, y-dan X:

(X, saat) Î R və ya ( y, x) Î R.

Əgər R ciddi nizam əlaqəsidir, sonra çoxluq Xşərtlə bu münasibətlə sıralanır: əgər X, saatçoxluğun istənilən iki qeyri-bərabər elementi X, Bu ( X, saat) Î R və ya ( y, x) Î R, və ya hər hansı iki element x, y dəstləri X bərabərdirlər.

Məktəbin riyaziyyat kursundan məlumdur ki, rəqəmlər müəyyən edilir N , Z , Q , R nisbəti ilə sıralanır "az" (<).

Müəyyən çoxluğun alt çoxluqlar çoxluğu yuxarıdakı mənada daxilolma əlaqəsi (U) və ya ciddi daxilolma əlaqəsi (T) ilə sıralanmır, çünki heç biri digərinə daxil olmayan alt çoxluqlar var. Bu halda verilmiş çoxluğun Í (yaxud Ì) münasibəti ilə qismən sıralandığı deyilir.

Seti nəzərdən keçirin X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) və "kiçik" və "bölünən" iki əlaqəsi var. Bu münasibətlərin hər ikisinin nizam-intizam əlaqəsi olduğunu yoxlamaq asandır. Münasibətlərdən kiçik olan qrafiki şüa kimi təqdim etmək olar.

“Bölünmüşdür” münasibətinin qrafiki yalnız müstəvidə göstərilə bilər.

Bundan əlavə, ikinci əlaqənin qrafikində oxla bağlanmayan təpələr var. Məsələn, 4 və 5 rəqəmlərini birləşdirən ox yoxdur (şək. 10).

Birinci münasibət X < saat' xətti adlanır. Ümumiyyətlə, əgər sifariş əlaqəsi R(ciddi və qeyri-ciddi) setdə X mülkiyyəti var: istənilən üçün X, saatÎ X və ya xRy, və ya yRx, onda xətti düzən münasibət və çoxluq adlanır X xətti düzülmüş çoxluqdur.

Əgər set Xəlbəttə və ibarətdir n elementləri, sonra xətti sıralama X onun elementlərinin 1,2,3, ... rəqəmləri ilə sadalanmasına qədər azaldır, n.

Xətti sıralı dəstlər bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir:

1°. Qoy a, b, c- elementləri təyin edin X, münasibətə görə sıralanır R. Əgər məlumdursa aRv Və vRc, o zaman elementi deyirik V elementləri arasında yerləşir A Və ilə.

2°. Bir dəstə X, əlaqəsi ilə xətti sıralanır R, onun hər hansı iki elementi arasında bu çoxluğun yalnız sonlu elementlər çoxluğu olarsa, diskret adlanır.

3°. Bu çoxluğun hər hansı iki fərqli elementi üçün onların arasında çoxluğun elementi varsa, xətti düzülmüş çoxluq sıx adlanır.

Binar əlaqələrin mühüm növü nizam münasibətləridir. Ciddi sifariş əlaqəsi - antirefleksiv, antisimmetrik və keçidli ikili əlaqə:

təyinat - (Aəvvəl b). Nümunələrdir

münasibətləri "böyük", "kiçik", "yaşlı" və s. Rəqəmlər üçün adi qeyd işarələrdir "<", ">".

Qeyri-ciddi sifariş əlaqəsi - binar refleksiv, antisimmetrik və keçid əlaqəsi. Rəqəmlər üçün qeyri-ciddi bərabərsizliklərin təbii nümunələri ilə yanaşı, bir müstəvidə və ya fəzada nöqtələr arasındakı əlaqə "mənşəyə daha yaxın olmaq" nümunəsidir. Tam və həqiqi ədədlər üçün qeyri-ciddi bərabərsizlik də bərabərlik və ciddi nizam münasibətlərinin diszyunkasiyası kimi qəbul edilə bilər.

Bir idman turniri yerlərin bölünməsini nəzərdə tutmursa (yəni hər bir iştirakçı müəyyən bir yer alır, yalnız yemək / mükafatlandırılır), onda bu ciddi qaydanın nümunəsidir; əks halda, qeyri-ciddi.

Çoxluqda onun bəzi və ya bütün cütləri üçün nizam münasibətləri qurulur

birincilik . Quraşdırma-bir dəst üçün bəzi sıra əlaqəsi deyilir onun "sifarişi, və "öz. Bunun nəticəsində müəyyən olur nizamlı. Nizam münasibətləri müxtəlif yollarla təqdim oluna bilər. Sonlu çoxluq üçün onun elementlərinin hər hansı bir dəyişməsi "bəzi ciddi nizamı müəyyən edir. Sonsuz çoxluq sonsuz sayda qaydada sıralana bilər. Yalnız mənalı məna daşıyan sıralamalar maraq doğurur.

Əgər sifariş əlaqəsi üçün R setdə .M və bəzi fərqli ünsürlər, əlaqələrdən ən az birini tutur

aRb və ya b Ra, sonra elementlər A Və bçağırdı müqayisəliəks halda - müqayisə olunmaz.

Tamamilə (və ya xətti) sifarişli dəst M -

sıra əlaqəsinin verildiyi çoxluq və çoxluğun istənilən iki elementi M müqayisəli; qismən sifarişli dəst- eyni, lakin misilsiz elementlərin cütlüyünə icazə verilir.

Xətti düzülmüş çoxluq düz xətt üzərində “sağa” münasibəti ilə nöqtələr çoxluğu, “böyük”ə görə tam, rasional, həqiqi ədədlər çoxluğu və s.

Qismən nizamlanmış çoxluğa misal üçölçülü vektorlardır, əgər sıra sanki verilmişdirsə

Yəni, hər üç koordinatda üstünlük təmin edilirsə, (2, 8, 5) və (6, 9, 10) vektorları, (2, 8, 5) və (12, 7, 40) vektorları müqayisə edilir. ) müqayisə oluna bilməz. Bu sifariş üsulu istənilən ölçülü vektorlara şamil edilə bilər: vektor

if vektorundan əvvəl gəlir

Və bitdi

Digər sifariş nümunələri vektorlar toplusunda nəzərdən keçirilə bilər.

1) qismən sifariş: , Əgər

Bunlar. vektorların uzunluğuna görə; eyni uzunluqlu vektorlar müqayisəedilməzdir.

2) xətti qayda: , Əgər a Əgər a-d, Bu b< е ; əgər jed \u003d c?u6 \u003d e, onda