Dəyişən sıralar. Mütləq və şərti yaxınlaşma Alternativ sıra həllər nümunələri

Sonsuz sayda müsbət və sonsuz sayda mənfi şərtləri ehtiva edən sıra sırası alternativ adlanır.

Mütləq və şərti yaxınlaşma

Əgər seriya da yaxınlaşırsa, seriya mütləq yaxınlaşan adlanır.

Əgər sıra mütləq yaxınlaşırsa, deməli o, yaxınlaşır (adi mənada). Bunun əksi doğru deyil.

Özü yaxınlaşırsa və onun üzvlərinin modullarından ibarət sıra ayrılırsa, sıra şərti olaraq yaxınlaşır.

Konvergensiya seriyalarını araşdırın .

Gəlin alternativ sıralar üçün Leibniz kifayət testini tətbiq edək. alırıq

Çünki . Buna görə də bu seriya birləşir.

38. Alternativ sıralar. Leibniz işarəsi.

Dəyişən sıraların xüsusi halı alternativ sıra, yəni ardıcıl terminlərin əks işarələrə malik olduğu sıradır.

Leibniz işarəsi

Yaxınlıqda dəyişənlər üçün Leibniz üçün kifayət qədər yaxınlaşma testi tətbiq olunur.

(an) elə bir ədəd ardıcıllığı olsun

1. an+1< an для всех n;

Sonra alternativ seriyalar çıxır.

39. Funksional sıralar. Güc seriyası. yaxınlaşma radiusu. Konvergensiya intervalı.

Funksional silsilələr və güc seriyaları anlayışı

Adi nömrələr seriyası, unutmayın ki, nömrələrdən ibarətdir:

Serialın bütün üzvləri NÖMRƏDİR.

Funksional sıra FUNKSİYALARDAN ibarətdir:

Polinomlara, faktoriallara və digər hədiyyələrə əlavə olaraq, seriyanın ümumi termini şübhəsiz ki, "x" hərfini ehtiva edir. Bu belə görünür, məsələn:

Nömrələr seriyası kimi, istənilən funksional sıra genişləndirilmiş formada yazıla bilər:

Gördüyünüz kimi, funksional seriyanın bütün üzvləri funksiyalardır.

Funksional seriyaların ən məşhur növüdür güc seriyası.

Tərif:

Qüvvət seriyası ümumi termini müstəqil dəyişənin müsbət tam dərəcələrini ehtiva edən sıradır.

Bir çox dərsliklərdə sadələşdirilmiş güc seriyası aşağıdakı kimi yazılmışdır: , ədəd seriyalarının köhnə tanış "doldurulması" haradadır (yalnız "en"-dən asılı olan polinomlar, dərəcələr, faktoriallar). Ən sadə misal:

Gəlin bu parçalanmaya baxaq və tərifi yenidən nəzərdən keçirək: dərəcə sırasının üzvləri müsbət tam (təbii) qüdrətlərdə "x" ehtiva edir.

Çox tez-tez bir güc seriyası aşağıdakı "modifikasiyalarda" tapıla bilər: və ya burada a sabitdir. Misal üçün:

Düzgün desək, güc seriyasının sadələşdirilmiş təsvirləri və ya tamamilə düzgün deyil. Eksponentdə tək hərf "en" əvəzinə daha mürəkkəb bir ifadə yerləşə bilər, məsələn:

Və ya bu güc seriyası:

Kaş ki, "xAx"-da eksponentlər təbii olsaydı.

Güc seriyasının konvergensiyası.

Konvergensiya intervalı, yaxınlaşma radiusu və yaxınlaşma sahəsi

Terminlərin belə bolluğundan qorxmağa ehtiyac yoxdur, onlar "bir-birinin yanında" gedirlər və başa düşmək o qədər də çətin deyil. Bir neçə sadə eksperimental seriya seçmək və dərhal anlamağa başlamaq daha yaxşıdır.

Sizdən güc seriyasını sevməyinizi və üstünlük vermənizi xahiş edirəm. Seriyanın ümumi termininə bir neçə ixtiyari x dəyərini əvəz edin:

Əgər x=1 olarsa

Əgər x=-1 olarsa, onda

Əgər x=3 olarsa

Əgər x=-0,2 olarsa, onda

Aydındır ki, “x” hərfini bu və ya digər qiymətə əvəz etməklə biz müxtəlif ədədi sıralar əldə edirik. Bəzi nömrələr seriyası yaxınlaşacaq, bəziləri isə ayrılacaq. Və vəzifəmiz güc seriyalarının birləşəcəyi "x" dəyərlərinin dəstini tapmaqdır. Belə çoxluğa silsilənin yaxınlaşma bölgəsi deyilir.

İstənilən güc seriyası üçün (müəyyən bir nümunədən müvəqqəti olaraq) üç hal mümkündür:

1) Qüvvət sıraları mütləq müəyyən intervalda birləşir. Başqa sözlə desək, əgər intervaldan “x”in hər hansı qiymətini seçib onu dərəcə sırasının ümumi üzvü ilə əvəz etsək, onda mütləq yaxınlaşan ədədlər seriyası alarıq. Belə interval güc sıralarının yaxınlaşma intervalı adlanır.

Konvergensiya radiusu, sadəcə olaraq, yaxınlaşma intervalının uzunluğunun yarısıdır:

Həndəsi olaraq vəziyyət belə görünür:

Bu halda silsilənin yaxınlaşma intervalı: silsilənin yaxınlaşma radiusu:

Sonsuz sayda müsbət və sonsuz sayda mənfi şərtləri ehtiva edən sıra sırası alternativ adlanır.

Mütləq və şərti yaxınlaşma

Əgər seriya da yaxınlaşırsa, seriya mütləq yaxınlaşan adlanır.

Əgər sıra mütləq yaxınlaşırsa, deməli o, yaxınlaşır (adi mənada). Bunun əksi doğru deyil.

Özü yaxınlaşırsa və onun üzvlərinin modullarından ibarət sıra ayrılırsa, sıra şərti olaraq yaxınlaşır.

Konvergensiya seriyalarını araşdırın .

Gəlin alternativ sıralar üçün Leibniz kifayət testini tətbiq edək. alırıq

Çünki . Buna görə də bu seriya birləşir.

38. Alternativ sıralar. Leibniz işarəsi.

Dəyişən sıraların xüsusi halı alternativ sıra, yəni ardıcıl terminlərin əks işarələrə malik olduğu sıradır.

Leibniz işarəsi

Yaxınlıqda dəyişənlər üçün Leibniz üçün kifayət qədər yaxınlaşma testi tətbiq olunur.

(an) elə bir ədəd ardıcıllığı olsun

1. an+1< an для всех n;

Sonra alternativ seriyalar çıxır.

39. Funksional sıralar. Güc seriyası. yaxınlaşma radiusu. Konvergensiya intervalı.

Funksional silsilələr və güc seriyaları anlayışı

Adi nömrələr seriyası, unutmayın ki, nömrələrdən ibarətdir:

Serialın bütün üzvləri NÖMRƏDİR.

Funksional sıra FUNKSİYALARDAN ibarətdir:

Polinomlara, faktoriallara və digər hədiyyələrə əlavə olaraq, seriyanın ümumi termini şübhəsiz ki, "x" hərfini ehtiva edir. Bu belə görünür, məsələn:

Nömrələr seriyası kimi, istənilən funksional sıra genişləndirilmiş formada yazıla bilər:

Gördüyünüz kimi, funksional seriyanın bütün üzvləri funksiyalardır.

Funksional seriyaların ən məşhur növüdür güc seriyası.

Tərif:

Qüvvət seriyası ümumi termini müstəqil dəyişənin müsbət tam dərəcələrini ehtiva edən sıradır.

Bir çox dərsliklərdə sadələşdirilmiş güc seriyası aşağıdakı kimi yazılmışdır: , ədəd seriyalarının köhnə tanış "doldurulması" haradadır (yalnız "en"-dən asılı olan polinomlar, dərəcələr, faktoriallar). Ən sadə misal:

Gəlin bu parçalanmaya baxaq və tərifi yenidən nəzərdən keçirək: dərəcə sırasının üzvləri müsbət tam (təbii) qüdrətlərdə "x" ehtiva edir.

Çox tez-tez bir güc seriyası aşağıdakı "modifikasiyalarda" tapıla bilər: və ya burada a sabitdir. Misal üçün:

Düzgün desək, güc seriyasının sadələşdirilmiş təsvirləri və ya tamamilə düzgün deyil. Eksponentdə tək hərf "en" əvəzinə daha mürəkkəb bir ifadə yerləşə bilər, məsələn:

Və ya bu güc seriyası:

Kaş ki, "xAx"-da eksponentlər təbii olsaydı.

Güc seriyasının konvergensiyası.

Konvergensiya intervalı, yaxınlaşma radiusu və yaxınlaşma sahəsi

Terminlərin belə bolluğundan qorxmağa ehtiyac yoxdur, onlar "bir-birinin yanında" gedirlər və başa düşmək o qədər də çətin deyil. Bir neçə sadə eksperimental seriya seçmək və dərhal anlamağa başlamaq daha yaxşıdır.

Sizdən güc seriyasını sevməyinizi və üstünlük vermənizi xahiş edirəm. Seriyanın ümumi termininə bir neçə ixtiyari x dəyərini əvəz edin:

Əgər x=1 olarsa

Əgər x=-1 olarsa, onda

Tərif 1

Üzvləri ixtiyari (+), (?) işarələrinə malik olan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ədəd seriyası alternativ sıra adlanır.

Yuxarıda nəzərdən keçirilən alternativ sıralar alternativ sıraların xüsusi halıdır; aydındır ki, hər bir alternativ seriya bir-birini əvəz etmir. Məsələn, $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) seriyası ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ növbəli, lakin simvol dəyişməyən seriyalar.

Qeyd edək ki, həm (+) işarəsi, həm də (-) işarəsi ilə dəyişən terminlər seriyasında sonsuz sayda var. Əgər bu doğru deyilsə, məsələn, seriya sonlu sayda mənfi şərtləri ehtiva edir, o zaman onlar ləğv edilə bilər və yalnız müsbət şərtlərdən ibarət sıra nəzərdən keçirilə bilər və əksinə.

Tərif 2

Əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ədədlər seriyası yaxınlaşarsa və onun cəmi S və qismən cəmi $S_n$-a bərabərdir, onda $r_(n) =S-S_(n) $ seriyanın qalığı adlanır və $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, yəni. konvergent seriyanın qalan hissəsi 0-a meyl edir.

Tərif 3

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ seriyası, $\sum \limits _(n=1) üzvlərinin mütləq qiymətlərindən ibarət olduqda, mütləq konvergent adlanır. )^(\ infty )\left|u_(n)\sağ| $.

Tərif 4

Əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ birləşirsə və $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( n )\sağ| $, üzvlərinin mütləq qiymətlərindən ibarətdir, ayrılır, sonra orijinal sıra şərti (mütləq olmayan) konvergent adlanır.

Teorem 1 (dəyişən sıraların yaxınlaşması üçün kifayət qədər meyar)

$\sum \limitlər _(n=1)^(\infty )u_(n) $ seriyası öz üzvlərinin mütləq qiymətlərindən ibarət olduqda $\sum \limitlər _(n=1) olarsa, alternativ seriyalar birləşir. ^ birləşir (\infty )\left|u_(n) \sağ| $.

Şərh

1-ci teorem dəyişən sıraların yaxınlaşması üçün yalnız kifayət qədər şərt verir. Əks teorem doğru deyil, yəni. əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ birləşirsə, o zaman $\sum \limits _(n=1)^ modullarından ibarət seriyanın olması lazım deyil. ( \infty )\left|u_(n) \sağ| $ (ya konvergent və ya divergent ola bilər). Məsələn, $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( seriyası \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ Leybniz testinə görə birləşir və onun şərtlərinin mütləq qiymətlərindən ibarət sıra $\sum \limitlər _(n) təşkil edir. =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonik sıra) ayrılır.

Mülk 1

Əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ seriyası mütləq yaxınlaşırsa, o, üzvlərinin hər hansı bir dəyişməsi üçün mütləq yaxınlaşır və sıraların cəmi sıradan asılı deyildir. üzvlərindən. Əgər $S"$ onun bütün müsbət şərtlərinin cəmidirsə və $S""$ onun mənfi şərtlərinin bütün mütləq qiymətlərinin cəmidirsə, seriyanın cəmi $\sum \limitlər _(n=) təşkil edir. 1)^(\infty )u_(n) $ $S=S"-S""$-a bərabərdir.

Əmlak 2

Əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ seriyası mütləq birləşirsə və $C=(\rm const)$, onda $\sum \limitləri _(n=1) )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ da mütləq birləşir.

Əmlak 3

Əgər $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ və $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ seriyaları mütləq yaxınlaşırsa, onda $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ seriyası da mütləq yaxınlaşır.

4-cü xassə (Rieman teoremi)

Əgər sıra şərti olaraq yaxınlaşırsa, onda hansı A rəqəmini götürsək də, bu sıranın şərtlərini elə düzəldə bilərik ki, onun cəmi A-ya tam bərabər olsun; üstəlik, şərti yaxınlaşan sıranın şərtlərini elə yenidən təşkil etmək olar ki, ondan sonra ayrılsın.

Misal 1

Şərti və mütləq yaxınlaşma üçün sıraları araşdırın

\[\sum \limitlər _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Həll. Bu sıra işarə növbəlidir, ümumi termini işarə edirik: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Misal 2

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ seriyasını mütləq və şərti yaxınlaşma üçün araşdırın.

1. Mütləq yaxınlaşma üçün seriyaları araşdırırıq. $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ işarələyin və bir sıra mütləq qiymətlər tərtib edin $a_(n) =\left| u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| seriyasını alırıq. =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ müsbət şərtlərlə, biz seriyaların müqayisəsi üçün limit kriteriyasını tətbiq edirik. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) ilə müqayisə üçün (n+1) $ $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty) formasına malik seriyanı nəzərdən keçirək. )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Bu seriya $p=\frac(1)(2) eksponenti olan Dirixlet seriyasıdır.
2. Sonra şərti olaraq $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ seriyasını araşdırırıq. yaxınlaşma. Bunun üçün biz Leybniz testinin şərtlərinin yerinə yetirilməsini yoxlayırıq. Şərt 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, burada $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , yəni. bu seriya bir-birini əvəz edir. Seriyanın şərtlərinin monoton azalması üzrə şərt 2) yoxlamaq üçün aşağıdakı üsuldan istifadə edirik. $x\in )-da müəyyən edilmiş $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ köməkçi funksiyasını nəzərdən keçirək.